د محدودیت اهمیت تشریح کړئ (y_i (mathbf{x}_i cdot mathbf{w} + b) geq 1) په SVM اصلاح کې.

/ / خپور شوی مصنوعي استخباراتو, د پیتان سره د EITC/AI/MLP ماشین زده کړه, د ویکتور ماشین ملاتړ, د ویکتور ماشین مطلوب ملاتړ, د ازموینې بیاکتنه

خنډ y_i (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{w} + b) \ geq 1 د ملاتړ ویکتور ماشینونو (SVMs) د اصلاح کولو پروسې کې بنسټیز برخه ده، د طبقه بندي دندو لپاره د ماشین زده کړې په برخه کې یو مشهور او پیاوړی میتود دی. دا خنډ د دې ډاډ ترلاسه کولو کې مهم رول لوبوي چې د SVM ماډل په سمه توګه د روزنې ډیټا ټکي طبقه بندي کوي پداسې حال کې چې د مختلف ټولګیو تر مینځ حد اعظمي کوي. د دې محدودیت اهمیت په بشپړه توګه تعریفولو لپاره، دا اړینه ده چې د SVMs میکانیکونه، د محدودیت جیومیټریک تفسیر، او د اصلاح کولو ستونزې لپاره د هغې اغیزې په پام کې ونیول شي.

د ملاتړ ویکتور ماشینونه هدف د مطلوب هایپرپلین موندل دي چې د مختلف ټولګیو ډیټا پوائنټونه د اعظمي حاشیې سره جلا کوي. هایپرپلین په n-dimensional ځای کې د معادلې لخوا تعریف شوی \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} + b = 0، چې د ریاضی د هایپرپلین لپاره د وزن ویکتور نورمال دی، ریاضی{x} د ننوت فیچر ویکتور دی، او b د تعصب اصطلاح ده. هدف دا دی چې د ډیټا پوائنټونه طبقه بندي کړي لکه د یوې ټولګي ټکي د هایپرپلین په یوه اړخ کې پراته دي ، او د بلې ټولګي ټکي په مخالف اړخ کې دي.

خنډ y_i (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{w} + b) \ geq 1 ډاډ ترلاسه کوي چې هر ډیټا ټکی (\mathbf{x}_i, y_i) په سمه توګه طبقه بندي شوی او د حاشیې په سم لوري کې پروت دی. دلته، y_i د i-th ډیټا ټکي د ټولګي لیبل استازیتوب کوي، سره y_i = +1 د یوې ټولګي لپاره او y_i = -1 د بل ټولګي لپاره. اصطلاح \mathbf{x}_i \cdot \mathbf{w} + b د پریکړې فعالیت دی چې د هایپرپلین په پرتله د ډیټا نقطې موقعیت ټاکي.

د جیومیټریک تفسیر د پوهیدو لپاره، لاندې په پام کې ونیسئ:

1. د مثبت او منفي ټولګي جلا کول: د معلوماتو ټکي لپاره mathbf{x}_i د مثبت ټولګي پورې اړه لري (y_i = +1)، خنډ y_i (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{w} + b) \ geq 1 ته ساده کوي \mathbf{x}_i \cdot \mathbf{w} + b \geq 1. دا پدې مانا ده چې د معلوماتو نقطه mathbf{x}_i باید د حاشیوي حد څخه بهر یا د هغې څخه بهر پروت وي \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} + b = 1. په ورته ډول، د معلوماتو ټکي لپاره mathbf{x}_i د منفي طبقې پورې اړه لري (y_i = -1)، محدودیت ته ساده کوي \mathbf{x}_i \cdot \mathbf{w} + b \leq -1، ډاډ ترلاسه کول چې د معلوماتو نقطه د حاشیې حد څخه بهر یا د هغې لخوا تعریف شوي \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} + b = -1.

2. د حاشیې اعظمي کول: حاشیه د هایپرپلین او د هر ټولګي څخه د نږدې ډیټا نقطو ترمینځ فاصله ده. خنډونه دا یقیني کوي چې حاشیه د ډیټا پوائنټونو ته د امکان تر حده د هایپرپلین څخه لرې کولو سره اعظمي کیږي پداسې حال کې چې لاهم سم طبقه بندي ساتل کیږي. له یوې نقطې څخه واټن mathbf{x}_i د هایپرپلین لخوا ورکول کیږي \frac{|\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{w} + b|}{\|\mathbf{w}\|}. د خنډونو په پلي کولو سره y_i (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{w} + b) \ geq 1، د SVM الګوریتم په مؤثره توګه دا فاصله اعظمي کوي ، د لوی حاشیې او غوره عمومي کولو فعالیت لامل کیږي.

3. د ویکتورونو ملاتړ کول: د معلوماتو ټکي چې د حاشیې په حدودو کې واقع دي \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} + b = 1 او \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} + b = -1 د ملاتړ ویکتورونو په نوم یادیږي. دا ټکي د مطلوب هایپرپلین په تعریف کې خورا مهم دي ، ځکه چې دا هایپرپلین ته نږدې ټکي دي او مستقیم د هغې موقعیت او سمت اغیزه کوي. خنډونه دا یقیني کوي چې دا ملاتړ ویکتورونه په سمه توګه طبقه بندي شوي او د حاشیې په حدودو کې پراته دي، په دې توګه د اصلاح کولو په ستونزه کې مهم رول لوبوي.

د SVMs لپاره د اصلاح کولو ستونزه د محدق اصلاح کولو ستونزې په توګه رامینځته کیدی شي ، چیرې چې هدف د وزن ویکتور نورم کمول دي ریاضی (کوم چې د حاشیې د اعظمي کولو سره برابر دی) د محدودیتونو تابع دي y_i (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{w} + b) \ geq 1 د ټولو روزنیزو معلوماتو نقطو لپاره. په ریاضي کې، دا په لاندې ډول بیان کیدی شي:

    \[ \begin{aligned} &\min_{\mathbf{w}, b} \frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2 \\ &\text{موضوع} \quad y_i (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{w} + b) \geq 1, \quad \forall i. پای {منظم} \]

د عامل فراک{1}{2} د ریاضیاتي اسانتیا لپاره شامل دی کله چې د اصلاح کولو پرمهال مشتق اخلي. دا فورمول د SVM اصلاح کولو ستونزې لومړنۍ بڼه بلل کیږي.

د دې اصلاح کولو ستونزې حل کولو لپاره، یو په عموم ډول د محدب اصلاح کولو تخنیکونه کاروي، لکه Lagrange multipliers. د Lagrange multipliers په معرفي کولو سره \alpha_i \ geq 0 د هر خنډ لپاره، د اصلاح کولو ستونزه په دوه اړخیزه بڼه بدلیدلی شي، کوم چې ډیری وختونه د حل کولو لپاره اسانه وي، په ځانګړې توګه کله چې د لوړ ابعادي معلوماتو سره معامله کیږي. د SVM اصلاح کولو ستونزې دوه اړخیزه بڼه د دې لخوا ورکړل شوې ده:

    \[ پیل{aligned} &\max_{\alpha} \sum_{i=1}^{N} \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \sum_{ j=1}^{N} \alpha_i \alpha_j y_i y_j (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j) \\ &\text{موضوع} \quad \sum_{i=1}^{ N} \alpha_i y_i = 0, \\ &\quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \leq \alpha_i \leq C, \quad \forall i, \end{aligned} \]

هلته N د روزنې د معلوماتو نقطو شمیر دی، او C د منظم کولو پیرامیټر دی چې د روزنې ډیټا کې د حاالتو اعظمي کولو او د ډلبندۍ تېروتنې کمولو ترمینځ تجارت کنټرولوي.

دوه ګونی فارمولیشن د کرنل چال څخه ګټه پورته کوي، SVMs ته اجازه ورکوي چې د ان پټ ډیټا نقشه کولو سره د غیر خطي جلا کیدونکي ډیټا اداره کړي د لوړې ابعادي ځانګړتیا ځای ته چیرې چې خطي جلا کول ممکن وي. دا د کرنل افعالو له لارې ترلاسه کیږي، لکه د پولینومیل کرنل، د ریډیل بیسس فنکشن (RBF) کرنل، او سیګمایډ کرنل، کوم چې په واضح ډول د بدلون ترسره کولو پرته په لوړ ابعادي ځای کې د ډاټ محصول محاسبه کوي.

د دوه ګوني اصلاح کولو ستونزې په حل کولو سره، یو څوک د لاګرینج غوره ضربان ترلاسه کوي \alpha_i، کوم چې د مطلوب وزن ویکتور ټاکلو لپاره کارول کیدی شي ریاضی او تعصب اصطلاح b. د ملاتړ ویکتورونه د ډیټا پوائنټونو سره مطابقت لري د غیر صفر Lagrange ضرب کونکو سره ، او د نوي ډیټا پوائنټونو طبقه بندي کولو لپاره د پریکړې فعالیت ریاضی{x} لخوا ورکول کیږي:

    \[ f(\mathbf{x}) = \text{sign} \left( \sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}) + b \ حق). \]

خنډ y_i (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{w} + b) \ geq 1 په دې توګه د SVM د اصلاح کولو پروسې لپاره ضمیمه ده، ډاډ ترلاسه کوي چې ماډل د روزنې ډیټا په سمه توګه طبقه بندي کولو او د حاشیې اعظمي کولو تر مینځ توازن ترلاسه کوي، چې د نه لیدل شوي معلوماتو ښه عمومي کولو المل کیږي.

د دې محدودیت اهمیت د مثال په توګه روښانه کولو لپاره، د دوه اړخیز ډیټا پوائنټونو سره د بائنری طبقه بندي ساده ستونزه په پام کې ونیسئ. فرض کړئ چې موږ د روزنې لاندې معلومات لرو:

    \[ \begin{aligned} &\mathbf{x}_1 = (2, 3), \quad y_1 = +1, \\ &\mathbf{x}_2 = (1, 1), \quad y_2 = +1 , \\ &\mathbf{x}_3 = (-1, -1), \quad y_3 = -1, \\ &\mathbf{x}_4 = (-2, -3), \quad y_4 = -1 . پای {منظم} \]

هدف د مطلوب هایپرپلین موندل دي چې مثبت ټولګي جلا کوي (y = +1د منفي ټولګي څخه (y = -1). د دې ستونزې لپاره خنډونه په لاندې ډول لیکل کیدی شي:

    \[ \begin{aligned} &y_1 (\mathbf{x}_1 \cdot \mathbf{w} + b) \geq 1 \quad \Rightarrow \quad (2, 3) \cdot \mathbf{w} + b \geq 1، \\ &y_2 (\mathbf{x}_2 \cdot \mathbf{w} + b) \geq 1 \quad \Rightarrow \quad (1, 1) \cdot \mathbf{w} + b \geq 1, \ 3 \ &y_3 (\mathbf{x}_1 \cdot \mathbf{w} + b) \geq 1 \quad \Rightarrow \quad (-1, -1) \cdot \mathbf{w} + b \leq -4. پای {منظم} \]

د دې خنډونو سره د SVM اصلاح کولو ستونزې په حل کولو سره، موږ د مطلوب وزن ویکتور ترلاسه کوو ریاضی او تعصب اصطلاح b کوم چې هایپرپلین تعریفوي چې دوه ټولګي د اعظمي حد سره جلا کوي.

خنډ y_i (\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{w} + b) \ geq 1 د SVM اصلاح کولو پروسې لپاره مهم دی ځکه چې دا د روزنې ډیټا پوائنټونو سمه طبقه بندي یقیني کوي پداسې حال کې چې د مختلف ټولګیو ترمینځ حد اعظمي کوي. دا د SVM ماډل غوره عمومي کولو فعالیت او پیاوړتیا لامل کیږي.

په اړه نورې وروستۍ پوښتنې او ځوابونه د پیتان سره د EITC/AI/MLP ماشین زده کړه:

نورې پوښتنې او ځوابونه په EITC/AI/MLP ماشین زده کړه کې د Python سره وګورئ

نورې پوښتنې او ځوابونه:

لاندی ځړول شوی: , , , , ,